Stanisław Dawski studiował w latach 1932-1939 w ASP w Warszawie: malarstwo u prof. Felicjana Szczęsnego Kowarskiego, grafikę u prof. Leona Wyczółkowskiego i Stanisława Ostoja-Chrostowskiego. Po II wojnie światowej osiadł we Wrocławiu. Był organizatorem życia artystycznego w tym mieście i pedagogiem tamtejszej PWSSP w latach 1946-1970 (w 1952-1962 jej rektorem). Utworzył Wydział Szkła tej uczelni, prowadził Katedrę Szkła Artystycznego. Jego prace artystyczno-badawcze nad ceramiką i szkłem zaowocowały książką "Szkło wrocławskie", wyd. Ossolineum, Wrocław 1970. Jako profesor wrocławskiej uczelni umożliwił indywidualne studia chorego Józefa Gielniaka, dostarczając mu narzędzi i udzielając korekt w sanatorium. W 1970 przeniósł się do Warszawy i objął stanowisko profesora na Wydziale Malarstwa ASP, na którym pozostawał do przejścia na emeryturę w 1975. Tworzył w dziedzinie malarstwa sztalugowego i ściennego oraz grafiki warsztatowej (techniki metalowe, litografia, monotypia, linoryt, termoryt, odciski z naturalnego drewna), zajmował się też rzeźbą, szkłem i ceramiką artystyczną. W latach 50. uprawiał sztukę figuratywną, często nadając postaciom cechy nawiązujące do stylu "kobiet kolosalnych" Picassa. Następnie zainteresował się abstrakcją geometryczną, tworząc układy ostro zdefiniowanych, regularnych form na płaszczyźnie. W latach 70. i 80. twórczość Dawskiego przybrała formy abstrakcji biologicznej (cykle "Żywioły", "Synthesis", 1975-1985).

Artysta był członkiem międzynarodowych organizacji artystycznych: AIAP (od 1952), szwajcarskiego Stowarzyszenia Drzeworytników XYLON (od 1979), Accademia Italiana delle Arti e del Lavoro (od 1980).

Otrzymał wiele prestiżowych nagród i odznaczeń artystycznych i państwowych, m. in. Nagrody m. Wrocławia 1951 i 1956, Nagrody Artystycznej Warszawy 1973.